Топология игрового поля>

Односторонне-поверхностный подход к четвертому измерению Разве на этом можно играть? Новые миры для Отелло

Разве на этом можно играть?

Василий Иванович (с болью во взгляде глядя на караван): – Ты посмотри, Петька, что проклятая война с лошадьми сделала. Петька: – Василий Иванович, это же верблюды… Василий Иванович: – Ну все равно жалко.      Анекдот.

Возьмем квадрат. Почему квадрат? Ну с чего-то же надо начать… А квадрат — самое удобное поле для игры — сколько игр имеют квадратную доску? А удобен он тем, что в него вписывается простая сетка. В треугольник, например, эту сетку не впишешь — его можно заполнить треугольниками, но игр на треугольной сетке не так много (припомните-ка хотя бы одну). А на квадратной сетке игр сколько угодно — от крестиков-ноликов до шахмат. Что можно сделать с квадратным полем такое, чтобы изменить его свойства, но чтобы играть на нем еще было можно. Можно растянуть или сжать его, но это не самый удачный путь. Хотя, например, для крестиков-ноликов увеличение размера может дать неплохие результаты. Особенно если соответственно модифицировать правила, например, выигрышным считать ряд из четырех или пяти крестиков или ноликов. Таким образом можно прийти к таким играм, как гомоку (доска 15x15), рендзю (доска 19x19 + дополнительные правила), "5 в ряд" (бесконечная доска).

Но что может дать изменение размеров доски, например, для шахмат? Изменение ширины поля влечет за собой либо уменьшение числа фигур, либо их увеличение, что хотя и интересно, но слишком изменяет правила. Уменьшение вертикального размера приведет к тесноте на доске, к невозможности длинного хода для пешек и т.д., а увеличение… — только представьте длинную доску, на которой пешкам нужен десяток ходов, чтобы соприкоснуться. Меня эта картина вгоняет в тоску.

Хотя, справедливости ради, надо сказать о шашках, где переход к стоклеточной доске позволил преодолеть национальные рамки и создать международный стандарт этой игры.

Мы пойдем другим путем (кажется, кто-то это уже сказал). Например, свернем доску в трубку и склеим боковые края. Не надо понимать этого буквально — вполне достаточно сделать это мысленно, т.е. считать, что левее самого левого столбца клеток расположен самый правый столбец. При этом доска становится замкнутой, свойства ее резко изменились, а количество клеток осталось тем же. Что нового мы видим на этой доске? Прежде всего, исчезли угловые клетки. Значит, в самой игре исчезло все, что с ними связано.

Для шахмат — это возможность загнать чужого короля в угол или спрятать своего от противника с помощью рокировки. Да и ладьи-то с самого начала оказались рядом, уже не беззащитные, а удвоившие свою мощь за счет взаимной поддержки. Да, это шахматы, но шахматы другие, с другой тактикой, с другой подвижностью фигур (особенно резвы слоны за счет более длинных диагоналей).

В других играх углы — это тоже, как правило, особые точки. Особенно важны углы в реверси — именно на захвате углов строится вся тактика этой игры. Но о реверси мы поговорим позже и значительно подробнее.

Во-вторых, не стало боковых границ, а значит клетки крайних столбцов ничем не отличаются от остальных клеток. Значит, если фигуры в игре передвигаются, то они стали более подвижны, а если взаимодействуют (как в крестиках-ноликах или реверси), то увеличилось число возможных комбинаций. В шашках больше нельзя построить "сортир", приперев чужую шашку к краю.

На доске осталось только два края (замкнутых) — верхний и нижний. Заметим, что для таких игр, как шашки и шахматы это очень важно, т.к. позволяет задать направление для движения фигур.

Другой вариант цилиндрической доски получается склеиванием горизонтальных краев доски. Он менее интересен, т.к. для одних игр не вносит ничего нового по сравнению с вертикальным цилиндром, а для других неприемлем (речь идет о шахматах и русских шашках) из-за смешивания начальных позиций.

Шашки на горизонтальном цилиндре вполне возможны для американских правил игры, где простая шашка не имеет права бить назад. Правда, игра на этом поле менее интересна из-за отсутствия верхней границы, где должно произойти превращение в дамку. Перешедшие эту границу шашки просто появятся с нижнего края и начнут борьбу сначала, а поскольку количество шашек все время уменьшается, это в большинстве случаев приведет к ничьей. Но можно и не отменять превращения в дамку на верхней горизонтали (не смотря на то, что она не последняя) — в этом случае изменение топологии доски проявится только в эндшпиле с появлением дамок. До этого игра не отличается от обычных шашек.

Посмотрим, какие особенности вносит цилиндричность доски в такую игру, как крестики-нолики. Вместо двух диагоналей на доске оказалось целых 6. Такое обилие возможностей сразу же увеличивает преимущество первого хода: легко доказывается, что при правильной тактике выигрыш первому игроку обеспечен (напомним, что на обычной доске крестики-нолики имеют ничейный результат). Например, при первом ходе крестиков в центр (слова "центр" и "угол" имеют смысл только по отношению к исходной доске, на цилиндре же нет ни того, ни другого) на любой ответ противника крестик ставится в ближайший к нолику угол. Дальше идут только вынужденные ходы. Нолики ходят в противоположный угол. Крестики вынуждены сходить в точку 5 на диаграммах, ставя вилку на поля, обозначенные точками.

2   3 5 1  •  4  •

2 3  •  1 5 4    •

3 5  •  2 1      •  4

После хода ноликов на одно из них, крестики сходят на другое и выиграют партию. Выигрывает не только центральный первый ход, но и любой другой — это очевидно следует из рассмотренной ниже эквивалентности цилиндрических и тороидальных крестиков-ноликов, а в последних все клетки равноценны.

Попробуем теперь склеить как вертикальные, так и горизонтальные края. Что получится, если свернуть трубу в кольцо и сварить? Что-то вроде бублика или надутой мотоциклетной камеры. Такая поверхность называется тором. Для шашек и шахмат эта операция не слишком подходит, т.к. противоборствующие армии в начальной позиции смешиваются. Если их перегруппировать (и изменить при этом число фигур), то остается проблема с выделенным направлением для пешек (и шашек), с превращением на последней горизонтали и т.д. Несмотря на это, шахматные задачи на тороидальной (как и на горизонтальной цилиндрической) доске достаточно популярны. Но ведь задача — это только эпизод, а не вся игра.

А вот крестики-нолики (игра в тороидальные крестики-нолики ничем не отличается от цилиндрического варианта, ведь закольцованность линий в этой игре не имеет никакого значения, а выигрышные позиции в обоих вариантах одинаковы), реверси, го, морской бой, да и чисто компьютерные игры типа линий (Lines) на бублике вполне возможны. Кстати, говоря о компьютерных играх, следует сказать, что некоторые из них просто немыслимы на досках с краями. Посмотрите, например, Serpent А. Бирюкова — ее игровое пространство является тором, можно преобразовать его в бутылку Клейна, но никак не в цилиндр, квадрат или лист Мебиуса — в нее можно играть только на полностью замкнутом поле. А ведь эта игрушка — всего лишь переведенная на тор известная "Змейка". Но автор игры наряду с замыканием краев поля внес в игру еще несколько модификаций (в частности, перешел от клеточной структуры поля к непрерывной поверхности), которые сделали игру намного более интересной, на мой взгляд, чем ее плоский прототип.

А мы посмотрим попристальнее на односторонние поверхности. Собственно, сама по себе односторонность нас не слишком волнует, ведь и на двусторонних поверхностях для игры используется только одна сторона. Но вот то, что у кольца Мебиуса всего один край, а не два, как у цилиндра — это уже существенно. Из-за этого на мебиусной доске (напомним, что ее получают из обычной квадратной, склеивая противоположные стороны, с переворотом одной из них на 180°) также нельзя безболезненно разместить начальные позиции сторон в шахматах — они будут соприкасаться либо боковыми сторонами (при склеивании вертикальных сторон), либо тылами (при склеивании горизонтальных сторон).

Но вот шашки, как это ни странно с первого взгляда, вполне удобно размещаются, и, не смотря на близость позиций черных и белых, они нисколько не угрожают друг другу на обоих вариантах доски-листа Мебиуса. Дело в том, что на начальной позиции они стоят как бы на полях противоположного цвета и при движении подобно жителям параллельного мира могут проходить сквозь строй противника, не замечая его. Слова "как бы" употреблены потому, что на самом деле доску Мебиуса, полученную из квадратной доски, вообще нельзя раскрасить в два цвета по типу шахматной доски. Такому раскрашиванию поддается только прямоугольная доска Мебиуса с нечетной разностью длин сторон.

Но при движении навстречу друг другу шашки вполне нормальным образом встречаются и таким же нормальным образом могут бить друг друга. Правда, шашки, пересекшие видимую боковую границу доски (при вертикальной доске), оказываются неуязвимыми для остальных, что, на наш взгляд, не слишком хорошо для игры, так как дает слишком много места для "убежища". Фактически объем жизненного пространства увеличивается в два раза, т.к. доступными становятся все клетки.

Можно предложить скомпенсировать это увеличение, разместив на доске два комплекта шашек, один из которых самым традиционным образом выставляется на изначально черные поля, а второй ставится на белые поля на стороне противника между его шашками. При этом все шашки второго комплекта передвигаются в противоположном направлении (но тоже навстречу таким же белопольным шашкам противника). Шашка, пересекающая боковую сторону, меняет цвет своего поля, продолжая движение не только у противоположного края, но и в противоположную сторону. Превращение в дамку происходит на последней горизонтали при черном цвете поля и на первой горизонтали — при белом.

В принципе, игра двумя комплектами возможна и на обычной квадратной доске, но из-за невозможности смены цвета поля для шашек, такая игра равносильна сеансу одновременной игры на двух досках, то есть не вносит ничего существенно нового.

На горизонтальной доске Мебиуса шашки еще менее интересны, чем на горизонтальном цилиндре. Правда, здесь возможна игра и по русским, и по международным правилам — ведь соприкасающиеся начальные позиции не угрожают друг другу даже при разрешенном обратном ударе. Но пересечение верхней границы не только опускает шашку на первую горизонталь, но делает ее "привидением", не доступным для остальных шашек. Такая шашка вынуждена либо ждать аналогичных "привидений" противника, либо тратить целых 8 ходов для возвращения в нормальное состояние. А так как число таких шашек невелико, это только затянет игру и увеличит вероятность ничейного исхода. Не спасает и разрешение превращений в дамки — для их действий на доске слишком много места.

Игра двумя комплектами на горизонтальном Мебиусе также возможна. При этом нет никакого смысла вводить другое направление движения для белопольных шашек, ведь пересечение боковых границ и изменение направления движения запрещено (иначе, пока первая шашка не пересечет верхнюю границу доски, игра распадется на две независимых партии). Просто каждая армия с самого начала вдвое мощнее обычной (при этом половина ее стоит в виде "привидений" между шашек противника в качестве резерва, а когда до нее доходит очередь, пересекая границу реальности начинает пополнять потери). Игра может быть интересна для любителей хорошей сечи. Если в ходе этой сечи противник не уничтожен полностью, то эндшпиль скорее всего приведет к ничьей.

Крестики-нолики 3x3 на листе Мебиуса отличаются от цилиндрических крестиков-ноликов тем, что вместо трех горизонталей (мы для определенности взяли вертикальный Мебиус) длиной по 3 клетки мы имеем всего две горизонтали, одна из которых (крайняя) вдвое длиннее. Поэтому, если выигрышной считать не трехклеточную линию, а линию либо замкнутую, либо "от края до края", то число выигрышных комбинаций уменьшается по сравнению с цилиндром или тором на 2, что делает выигрыш первого игрока не столь очевидным.

Склеим у мебиусной доски обычным образом два оставшихся края (если быть точным, то склеим один край) или, что то же самое, склеим с перекручиванием на 180° края цилиндрической доски, и мы получим доску в виде бутылки Клейна. Поскольку все склеивания выполняются мысленно, то мы можем играть на поверхности, которая представима без самопересечений только в четырехмерном пространстве, не испытывая особых трудностей. Нужно только правильно продолжать линии, пересекающие видимые края доски. Особенно внимательным надо быть с диагоналями. Впрочем, навык в процессе игры приобретается быстро.

В зависимости от того, какие именно края доски склеиваются с перекручиванием, возможны два варианта бутылки Клейна: вертикальная бутылка (горизонтальные края склеены с перекручиванием) и горизонтальная бутылка (вертикальные края склеены с перекручиванием). Различие между ними важно только для игр с выделенным направлением (те же шашки). Для таких же игр, как реверси, го, рендзю принципиальной разницы между этими досками нет, хотя помнить во время игры, какие именно края при пересечении нужно мысленно переворачивать, естественно, необходимо.

Русские и стоклеточные шашки возможны только на вертикальной бутылке Клейна, в американские можно играть на обеих досках. При этом возможны варианты как с одним комплектом фигур, так и с двумя, как с дамками, так и без них. Вообще, почти все, сказанное о шашках на доске Мебиуса справедливо и для бутылки Клейна, с тем уточнением, что у последней вообще нет краев, что повышает подвижность шашек, а особенно дамок.

Бутылка Клейна для крестиков-ноликов 3x3 — вряд ли удачная топология доски. Здесь всего 4 трехклеточных выигрышных линии: 3 вертикали (для определенности взята горизонтальная бутылка) и центральная горизонталь. Крайняя горизонталь имеет длину 6 клеток, а 3 диагонали — по 5 клеток (одна клетка съедается самопересечением). Построить комбинацию такой длины либо вообще невозможно(6), либо весьма проблематично(5) (да и это возможно только для первого игрока). Так что, первая прикидка предсказывает с высокой вероятностью ничейный результат даже при слабой игре.

Читатель, дочитавший до этого места, ждет, что сейчас мы перекрутим и склеим как вертикальные, так и горизонтальные края и получим еще одну супердоску. Увы, при таком варианте не получается замкнутой поверхности без выделенных клеток: мы опять имеем углы (правда, гораздо более "слабые": у угловых клеток 6 соседей в отличие от 3 для обычного квадрата). Главные диагонали оказываются незамкнутыми, движение по остальным весьма причудливо. Все горизонтали и вертикали (не считая центральных при нечетной длине сторон) имеют удвоенную длину. Угловые клетки, как по горизонтали, так и по вертикали при движении за видимую границу поля граничат с одной и той же клеткой — противоположным углом. Это похоже на то, если бы мы каждый из краев цилиндра склеили "пирожком", т.е. доску, сложенную пополам проклеили бы по всем соприкасающимся краям, а потом надули (в этом случае в отличие от нашего нет перекручивания и имеется 8 угловых клеток). Играть на такой доске, конечно, тоже можно, но анализ конкретных вариантов оставляем читателям.

Отметим только интересную особенность, появляющуюся, когда исходная доска имеет прямоугольную форму, причем длины сторон отличаются на единицу: при этом на поле имеется всего две очень длинных диагонали (одна "черная" и одна "белая"), проходящих через каждую клетку своего цвета дважды.

Упомянем еще несколько "неправильных" замыканий доски. Если склеить боковой край с горизонтальным, то получим коническую доску. У нее вертикали являются продолжениями горизонталей, длина диагоналей принимает значения от 1 до 15, нет ни одной замкнутой линии и имеется 2 угла различной "силы". Если таким же образом склеить два оставшихся края, то получится подобие чебурека, состоящее из двух конусов. Изначальная перекошенность такой доски делает ее пригодной разве только для уголков (именно в уголках важна диагональная симметрия), но это только мое мнение. Попробуйте, может и для других игр на этой доске найдется своя изюминка.

А как же другие поверхности, например проективная плоскость или, наконец, сфера? У них один недостаток: их нельзя покрыть полностью квадратной сеткой, т.е. применить их в качестве игрового поля значительно сложнее. Тем не менее, известны такие варианты, как сферические и проективные шахматы. Например, в проективных шахматах обычная доска дополняется четырьмя "несобственными" клетками — точками пересечений вертикалей, горизонталей, восходящих диагоналей и нисходящих диагоналей. Проективная плоскость при этом используется не полностью: в игре участвуют только квадрат 8x8 и 4 точки несобственной прямой. В сферических же шахматах наряду с квадратными участвуют и треугольные клетки. Здесь мы не рассматриваем подобные варианты.