Топология игрового поля>

Односторонне-поверхностный подход к четвертому измерению Разве на этом можно играть? Новые миры для Отелло

Новые миры для Отелло

Невеста — жениху, выносящему ее из дверей загса: – Дорогой, ты будешь меня любить, как Ромео Джульетту? – Не знаю, не читал... – Ну, как Руслан Людмилу? – Не знаю, не читал... – Ну хотя бы, как Отелло Дездемону? – Не знаю, не читал... – А что ты вообще читал? – "Му-му" читал. Будешь много тявкать — утоплю!      Анекдот.

Примером того, как топология игрового поля может изменить характер игры, может служить игра "Реверси". Нами была разработана Flash-программа для игры в Реверси, позволяющая играть на 5 досках: плоской квадратной, цилиндрической, тороидальной, ленте Мёбиуса и бутылке Клейна.

В стандартном виде игра в Реверси происходит на квадратной доске 8x8 (можно использовать и шахматную доску). Игроки поочередно выставляют на поля доски двухцветные фишки, причем один из них ставит фишки черной стороной вверх, а другой — белой. Каждый ход должен сопровождаться захватом фишек противника путем взятия их в "скобки" из своих фишек. При этом захваченные фишки переворачиваются, меняя таким образом свой цвет и принадлежность. Можно окаймить ряд фишек противника любой длины, а также несколько рядов сразу. Динамичность игры, обилие труднопредвидимых ситуаций, быстрое изменение положения на доске сделали Реверси одной из самых популярных в мире игр. На Западе она известна под именем "Отелло", вероятно, из-за обилия ловушек и резкого изменения "настроения".

Поскольку установка фишек на пустую доску не может сопровождаться взятием фишек противника (для этого надо иметь минимум две уже установленные фишки — одну свою и одну противника), то игра начинается с предварительно установленными в центре четырьмя фишками — двумя черными и двумя белыми. Первый ход делают черные. Если один из игроков не может сделать хода с переворотом фишек противника, то он пропускает ход. Невозможность хода с обеих сторон означает конец игры. Но чаще игра заканчивается, когда вся доска оказывается заполненной фишками. После окончания игры происходит подсчет фишек каждого цвета на доске и определяется победитель.

В классическом варианте тактика игры целиком строится на учете конечных размеров доски. Фишку, стоящую на краю поля, перевернуть намного труднее, чем фишку в центральной части доски, а угловую фишку перевернуть вообще невозможно. Поэтому игроки прежде всего стремятся к захвату углов и краев доски. Более детально познакомиться с правилами и основными тактическими принципами игры в Реверси вы можете на сайте.

"Склеивание" краев доски кардинальным образом меняет тактику игры, оставляя неизменными правила игры и начальную расстановку. Так уже на цилиндрической доске исчезают угловые поля, а значит и неприкосновенные угловые фишки, хотя установка своих фишек на край доски еще может дать некоторые преимущества. Кроме того из-за удлинения диагоналей (все 16 диагоналей этой доски состоят из 8 клеток) среднее количество переворачиваемых с каждым ходом фишек увеличивается, что делает игру еще более непредсказуемой.

Уже на цилиндрической доске появляются некоторые тонкости, которые требуют уточнения правил игры. Так как горизонтальные линии на этой доске замкнуты, то возможны ситуации, неизвестные на квадратной доске, примеры которых приведены на рисунках.

1
2
3
4
5
6
7
8
	a	b	c	d	e	f	g	h

В верхней горизонтали ход белых на свободное поле переворачивает сразу все черные фишки, причем ряды черных фишек в обеих направлениях окаймляются одними и теми же двумя белыми фишками — устанавливаемой и стоящей на g1 (нотация в Реверси похожа на шахматную с тем отличием, что строки нумеруются не снизу вверх, а наоборот сверху вниз, т.е. верхняя строка имеет номер 1, вторая сверху — 2 и т.д., кончая нижней строкой с номером 8; столбцы же, как и в шахматах, обозначаются латинскими буквами слева направо: a, b, c, d, e, f, g, h). Поскольку "неоднократность" использования устанавливаемой фишки для переворота нескольких рядов в Реверси — обычное дело, то нам остается только разрешить ее для второй окаймляющей фишки.

Еще более интересная ситуация на 4-й (сверху) горизонтали. Здесь установка белой фишки на свободное поле грозит перевернуть сразу все 7 черных фишек, причем одна и та же фишка будет окаймлять горизонталь с обеих сторон. Но имеем ли мы право устанавливать сюда белую фишку? Ведь по правилам мы можем устанавливать фишки только на свободное поле рядом с фишкой противоположного цвета, причем хотя бы один ряд чужих фишек, начинающийся с этого свободного поля, должен быть ограничен с противоположной стороны фишкой своего цвета. В нашем же случае ряд из семи черных фишек ограничен с обеих сторон свободным полем.

А посмотрите на 7-ю горизонталь. Здесь разрешен ход белыми на c7, т.к. он окаймляет черную фишку c6, выше которой стоит белая фишка. Но следует ли после хода белыми на c7 перевернуть кроме c6 еще и весь горизонтальный ряд черных фишек? Ведь теперь он окаймлен только что установленной фишкой c7 с обеих сторон.

Правила Реверси для квадратной доски не могут дать ответа на эти вопросы, поэтому мы вольны выбрать один из следующих вариантов в качестве нового правила:

1. замыкающий ход в разрыв кольцевого ряда фишек противоположного цвета не приводит к переворачиванию этого ряда (т.е. белые вообще не могут ходить на f4, т.к. это не переворачивает ни одной фишки противника, а ход на c7 перевернет только фишку c6);

2. замыкающий ход в разрыв кольцевого ряда фишек противоположного цвета всегда переворачивает этот ряд (в этом случае возможны оба хода белых, причем ход на f4 перевернет все черные фишки 4-й горизонтали, а ход на c7 приведет к переворачиванию c6 и горизонтали 7);

3. наличие почти замкнутого ряда из фишек противоположного цвета не может служить основанием для хода в разрыв этого ряда (поскольку этот ряд открыт с обеих сторон), однако, если такой ход разрешен по иной причине, то после хода следует перевернуть и замыкаемый ряд (т.к. он оказывается ограниченным с обеих сторон) (при применении этого правила ход на f4 запрещен, а ход на c7 разрешен и перевернет как фишку c6, так и всю 7-ю горизонталь).

Наша программа использует на всех замкнутых досках правило 2, но это не означает, что этот вариант лучше двух других. Просто какой-то из вариантов необходимо было выбрать.

Другой момент требует разъяснения в результате появления на доске линий, пересекающихся более одного раза. На цилиндрическом поле такими линиями являются диагонали.

1
2
3
4
5
6
7
8
	a	b	c	d	e	f	g	h

Ход белых на поле c7 в этой ситуации должен перевернуть все черные фишки, т.к. обе диагонали заканчиваются белыми фишками. Однако после того, как одна из диагоналей окажется перевернутой, часть другой диагонали окажется отрезанной белой фишкой, и если ее переворачивать после переворота первой диагонали, то одна черная фишка окажется неперевернутой. Причем то, какая именно фишка не перевернется, зависит от порядка переворачивания диагоналей (заметим, что на квадратной доске результат хода не зависит от порядка переворачивания рядов). Другая ситуация могла бы быть, если бы одна из этих диагоналей была открыта, например, отсутствовала или была бы черной фишка в верхнем левом углу (a1). Тогда ход на c7 перевернул бы только одну диагональ (b6-a5-h4-g3-f2), но после этого переворота оказалось бы, что еще 3 фишки (d6, e5, f4) окаймлены только что установленной фишкой c7 и фишкой g3.

Мы избежали неоднозначности в подобных ситуациях, введя следующее правило: после установки каждой новой фишки на поле определяются все фишки, которые необходимо перевернуть, затем все они переворачиваются одновременно.

Склеивание не только боковых сторон поля, но и верха с низом превращает игровую доску в тор. Все клетки тора равноценны, никаких краев на этом поле нет, что полностью отменяет классическую стратегию игры в Реверси: не только углов, но и выделенных сторон больше не существует. Тем большее значение приобретают такие более тонкие тактические принципы, как принцип минимума, учет компактов и паритета. Кроме того все прямые — горизонтали, вертикали и диагонали являются кольцевыми, что обогащает игру новыми ситуациями. Как и на цилиндрической доске, диагонали пересекаются в двух точках, поэтому актуальны все уточнения правил игры, выработанные для цилиндрического поля. Практика игры на тороидальной доске показала, что изменения ситуации здесь еще более резкие, чем на цилиндре, особенно в конце игры.

Если склеить вертикальные стороны квадратного поля с перекручиванием на 180°, то мы получим аналог листа Мебиуса в качестве игрового поля. Как и в случае цилиндра, на этом поле имеются края (более правильно — край), установка фишек на которые предпочтительна, т.е. следы классической стратегии здесь остаются. В отличие от цилиндра на листе Мебиуса только 4 замкнутых горизонтали длиной 16 клеток, причем горизонтали дважды пересекаются как с вертикалями, так и с диагоналями, а вот диагонали пересекаются только в одной точке. При этом каждая диагональ имеет длину 8 клеток и (дважды пересеча каждую из 4 горизонталей) возвращается к тому же краю на соседнюю клетку. Впрочем, поскольку край здесь один, то это естественно. С точки зрения игры дополнительные трудности возникают при анализе линий пересекающих видимый боковой край доски, т.к. здесь необходимо учесть не только изменение вертикальной координаты, но и направления. Впрочем, мы разработали вариант программы с затененными "продолжениями" доски, где ситуация соответствующим образом перевернута.

Бутылка Клейна получена из "Мебиусного" поля прямым склеиванием горизонтального края (или из горизонтального цилиндра сращиванием боковых сторон с перекручиванием на 180°). Очевидно, при этом получается бутылка Клейна, "лежащая на боку". Однако, на кнопке, включающей этот режим, мы изобразили вертикально стоящую бутылку, что более привычно. Так же, как и на кольце Мебиуса, здесь 4 кольцевых горизонтали длиной 16 клеток. 8 вертикалей подобно вертикалям тора замыкаются в кольца. Диагонали (их всего 8 и они тоже замкнуты) имеют длину 16 клеток и пересекаются друг с другом и с вертикалями дважды, а с каждой из горизонталей в четырех точках. Кроме того, каждая из диагоналей имеет видимое самопересечение, но т.к. в игре мы имеем дело не с непрерывной поверхностью (собственно бутылкой Клейна), а с нанесенным на нее точечным множеством связанных друг с другом клеток (графом), причем точка самопересечения не совпадает с центром какой- либо клетки, мы должны считать это самопересечение мнимым.

Т.к. Реверси на замкнутых досках совершенно не исследованы, мы не стали создавать эффективно работающую игровую программу. Интеллект компьютера в нашей программе невысокий, и чтобы обыграть его, не нужно быть очень сильным игроком. Основная цель этой статьи (и программы) — возбудить у читателя интерес к традиционной игре на нетрадиционных досках. Поэтому в программе мы сделали основным режим, когда и за черных, и за белых играет человек. Надеемся, те из читателей, кого заинтересовала наша статья, смогут с помощью этой программы провести более полноценный анализ для Реверси на замкнутых досках и разработать более детальную стратегию для каждого случая.