Топология игрового поля>

Односторонне-поверхностный подход к четвертому измерению Разве на этом можно играть? Новые миры для Отелло

Односторонне-поверхностный подход к четвертому измерению

Японцы выпустили унитаз, который после того, как им попользовались, напоминает хозяину, что после туалета нужно вымыть руки. Наша фабрика приступила к выпуску продукции с аналогичной функциональностью: это ночной горшок с ручкой вовнутрь.      Из анекдота.

Есть такая наука — топология. Она работает с "резиновыми" объектами. То есть все фигуры, тела, поверхности, линии можно как угодно деформировать, гнуть, искажать, растягивать или сжимать — с точки зрения топологии ничего меняться не будет. Топология — это геометрия, в которой нет места понятиям расстояние, форма, угол. Линия не бывает здесь прямой или кривой — это просто линия. Поверхность не может быть вогнутой или выпуклой, или плоской — это бессмысленные для топологии слова. Но зато топология различает отрезок и замкнутую линию — это для нее разные объекты. Квадрат, трапеция, кольцевой сектор — для нее это лишь часть поверхности, ограниченная замкнутой линией, разбитой четырьмя точками на четыре ребра. А вот круг, например, существенно отличается от того же круга, в центре которого вырезано крошечное отверстие (или не в центре, а, наоборот, у самого края — это не важно, как не важно и то, крошечное это отверстие или большое, круглое оно или вытянутое и т.д.).

Поскольку мы будем собирать наши поверхности как в детском конструкторе из элементов, ограниченных замкнутой линией, то прежде всего рассмотрим саму линию. Обычно мы будем представлять ее в виде окружности, но поскольку в топологии разрешены любые деформации, то сколько угодно искаженная замкнутая линия будет также считаться эквивалентной окружности. Проще всего представить эту линию в виде веревочного кольца, которое, в силу гибкости веревки может принять любую форму. Более того, у нас веревочка может пересекать сама себя, то есть быть проницаемой. Таким образом, это может быть веревочное кольцо, завязанное в сколь угодно сложный узел — от этого его топологические свойства не меняются.. Возможные точки самопересечения линии не имеют никакого значения, поскольку они могут быть ликвидированы небольшим смещением в пространстве. Они бы имели значение, если бы мы закрепили эти точки, поставив в них вершину, т.е. точку, "скрепленную" со всеми выходящими из нее линиями. Но тогда мы бы имели совсем другой топологический объект.

Давайте посмотрим, какие поверхности можно "натянуть" на замкнутую линию, т.е. какие поверхности могут иметь край в виде окружности. Самое первое, что приходит на ум, это круг. Мы привыкли, что круг — это часть плоскости, но это также часть любой другой поверхности, например сферы, цилиндра, тора, конуса и т.д. (поскольку мы допускаем любую деформацию круга). Более того, достаточно малая окрестность любой не лежащей на краю точки любой поверхности, ограниченная окружностью, будет кругом.

Возьмите лист бумаги. Согните его, как угодно, сделайте из него самолетик или кораблик. Сомните его в комок. Если вы нигде не прорвали в нем дырок, то во всех этих состояниях он остается эквивалентным кругу. Если бы он был резиновым, то вы могли бы еще растягивать его в разных местах, а если бы он был проницаемым, то еще протаскивать одни части листа через другие. И все это, пока он цел, не меняет его сущности, как круга. (Если же вы все таки прорвали в круге отверстие, то это будет другая поверхность, называемая кольцом. Она ограничена двумя окружностями).

Все это разнообразие — это все тот же круг. А что же тогда еще имеет своим краем окружность? Возьмите тор (бублик, велосипедную камеру, спасательный круг) и нарисуйте на его поверхности небольшую окружность. Внутри нее опять будет круг. А снаружи? Это тоже поверхность, и она тоже ограничена окружностью. Но на круг она вовсе не похожа: в ней имеется отверстие (канал), и при любой деформации этот канал не исчезнет. Такая поверхность называется ручкой — она похожа на ручку от гири.

На самом деле эта поверхность имеет два канала: один внутри "велосипедной камеры", а другой снаружи. Или: один канал с одной стороны поверхности, а другой с другой стороны. Дело в том, что ручка, как, впрочем, и круг, двусторонняя поверхность: если мы начнем ее красить, поставив условие не пересекать край, то покрасим только с одной стороны, а вторая сторона останется чистой. Таким образом, вы узнали, что кроме круга существуют и другие поверхности, ограниченные окружностью, а также то, что есть на свете люди, для которых дырка от бублика имеет большое значение — это топологи.

В ручке вход в канал и выход их него расположены на одной и той же стороне круга. Нельзя ли придумать такую поверхность с каналом, в которой вход был бы расположен с одной стороны исходного круга, а выход — с другой? Таким образом мы могли бы соединить обе стороны круга и превратить двустороннюю поверхность в одностороннюю. Сказано — сделано. На рисунке вы видите такую поверхность. Она тоже имеет край в виде замкнутой линии, т.е. круга. То, что в некоторых своих ипостасях эта поверхность имеет самопересечения, ровным счетом ничего не значит: подобно тому, как мы устраняли самопересечение у линии, сдвигая ее в пространстве на малую величину, для устранения самопересечения поверхности достаточно чуть-чуть сдвинуть ее около линии самопересечения в гиперпространстве, т.е. в четвертом измерении.

Не правда ли, наша односторонняя поверхность очень напоминает шайбу Гровера, выполненную из трубки и спаянную в месте касания витков. Чтобы усилить сходство, я на одном из рисунков придал ей квадратное сечение. Как и ручка, "шайба Гровера"имеет два канала, причем, поскольку это односторонняя поверхность, оба канала расположены с одной стороны.

Здесь сразу возникает вопрос: если для двусторонней поверхности минимальное количество каналов определяется числом сторон поверхности (ведь создав канал с одной стороны, мы делаем то же самое и для другой ее стороны), то почему и для односторонней поверхности мы получили два канала? Что нам мешает создать одностороннюю поверхность с одним каналом, а значит более простую, чем "шайба Гровера". Попробуем стянуть в ноль один их них (тот, в который в обычной шайбе Гровера вставляется болт). Мы получим некую улиткообразную поверхность, имеющую один канал и одну сторону (и, конечно, один край, поскольку это тоже поверхность, имеющая краем круг). Назовем эту поверхность улиткой Мебиуса.

Стоп, скажет внимательный читатель. Про ленту Мебиуса я слышал, что-то припоминаю о листе Мебиуса, но об улитке слышу впервые. Сразу разъясним: речь идет об одной и той же поверхности, просто по-разному выглядящей (кажется, мы к этому уже привыкли). Обычно знакомство с поверхностью Мебиуса начинают с самого простого ее представления в виде перекрученной ленты, но тогда ее край с большим трудом представляется в виде круга, так он оказывается искаженным. А ведь нам в дальнейшем еще понадобится вклеивать эту поверхность в круглое отверстие; если развернуть мысленно край ленты в круг еще можно, то мысленно уследить, во что же при этом превратится сама лента — уже практически непосильная задача даже для людей с очень развитым пространственным воображением. А представить, как "улитка" затыкает своим краем круглое отверстие, сможет каждый.

Но, чтобы уже не возвращаться к этой теме, перейдем к "ленточному" представлению рассмотренных поверхностей. Начнем с ручки. Сделаем ее каналы приблизительно одинакового диаметра. Край ручки, то есть окружность, деформируем в "гантель" так, чтобы головками "гантели" она охватывала оба входа в один из каналов, соединяя их узкой полоской тела "гантели" между собой. А теперь плавно согнем "гантель", приближая ее головки друг к другу так, чтобы длина канала стала в несколько раз меньше его ширины. Мы увидим фигуру, состоящую из двух сросшихся друг с другом колец, расположенных перпендикулярно друг к другу. Поскольку все наша преобразования не меняют топологических свойств поверхности, перед нами все еще ручка. Но как она не похожа на ручку от гири!

Такую фигуру очень легко склеить из двух полосок бумаги (или из одной развертки в виде креста).

"Шайба Гровера" тоже легко представляется в виде ленты. Для этого с ней надо проделать почти те же преобразования, то есть краевую окружность деформировать до "гантели", охватывающей головками оба входа в канал. Затем (в отличие от ручки!) перекрутить одну из головок "гантели" на 180°. А потом так же согнуть "гантель", сблизив ее головки. Полученная фигура очень похожа на ту, которая получилась из ручки. У нее только одно отличие: одно из перпендикулярных сросшихся колец перекручено. Это произошло из-за того, что перед сгибом нам пришлось перекрутить гантель. Развертки у ручки и "шайбы Гровера" одинаковы (в виде креста), но при изготовлении "ленточного" аналога "шайбы Гровера" нужно перед склейкой одно из колец перекрутить на полоборота.

Применив этот же сценарий к улитке Мебиуса, т.е. чуть сузив краевую окружность в месте прохождения через нее стенки "раковины", перекрутив ее до "восьмерки" (кстати, на этом этапе поверхность Мебиуса напоминает корзинку с перекрученной ручкой), а затем сложив пополам, мы получим знаменитую ленту Мебиуса. Она значительно проще других рассмотренных нами ленточных вариантов, т.к. состоит всего из одного кольца. Тем не менее, ей посвящена обширная литература, начинающие и вполне зрелые математики не перестают восхищаться ее удивительными свойствами.

Поверхность мебиуса оказалась удивительно многоликой. Тут и улитка, и лента, и корзинка (промежуточный вариант). Не могу удержаться, чтобы не показать вам еще одну ее ипостась — это крестообразная складка на плоскости, естественно, самопересекающаяся. Надеюсь, вы сами сможете найти деформацию, переводящую ее в один из известных видов.

Нельзя сказать, что мы рассмотрели все возможные поверхности с краем в виде замкнутой линии. Например, вполне возможно разместить "на одной площадке" две ручки или ручку и "шайбу Гровера" (для этого, очевидно надо склеить на каком- то участке их края, а участки краев, оставшиеся свободными образуют при этом линию, топологически эквивалентную окружности). Мы не будем этим заниматься, т.к. "кирпичиков" из которых можно строить всевозможные замкнутые поверхности нам более чем достаточно.

Простейшая замкнутая поверхность, это, конечно, сфера. Если в сфере вырезать отверстие в виде круга, то оставшаяся часть сферы будет также эквивалентна кругу. То есть, мы имеем право сказать, что сфера образуется при склеивании двух кругов по всей длине их краев. Если же отверстие в сфере заклеить не кругом, а какой-нибудь другой из рассмотренных нами поверхностей, то мы можем получить поверхности, отличные от сферы, но они тоже будут замкнутыми (ведь краев у них не будет).

Вклеим в сферу ручку. Мы получим "гирю". Выпустим из нее воздух, и увидим знакомый нам бублик, т.е. тор. Это, в общем, не удивительно, т.к. ручка — это и есть часть тора, оставшаяся после вырезания из нее круга, а сейчас мы просто проделали обратную операцию: к кругу (сфере с отверстием) прилепили эту часть тора. Попробуем вклеить в сферу ручку обратной стороной, то есть сделаем гирю "ручкой вовнутрь". Но нет, это не новая поверхность, это все та же гиря, только с толстой приплюснутой ручкой, отделенной от основной массы тонюсеньким отверстием (каналом), куда едва пролазит один палец. Но раздвиньте канал, сожмите ручку, и эта гиря станет неотличимой от первой.

Можно сделать в сфере несколько отверстий и вклеить в нее несколько ручек. Все эти замкнутые поверхности отличаются друг от друга, но у них есть одно общее свойство: все они являются двусторонними. В топологии доказывается, что вообще все возможные двусторонние замкнутые поверхности можно представить в виде сферы с каким-либо количеством ручек.

Свойство двусторонности очень важно. Оно означает, что поверхность разделяет пространство на две части "внутри" и "снаружи". Если "внутри" заполнить каким-либо веществом, а "снаружи" оставить пустоту, то мы получим тело. В окружающем нас мире нет просто поверхностей. Все поверхности — это поверхности каких-нибудь тел, это границы, отделяющие одни тела от других. Даже тонкие листы, пленки, которые в каком-то приближении мы можем считать подобиями "чистых" поверхностей, всегда имеют толщину, а значит, тоже являются телами. А все поверхности тел относятся к двусторонним поверхностям, то есть, представимы в виде сфер с ручками.

А теперь вклеим в сферу улитку Мебиуса. Первое, что обращает на себя внимание — это то, что мы получили поверхность с самопересечением. Для топологии это не имеет значения — будем, как и раньше, считать, что небольшим смещением в четвертом измерении мы можем устранить это самопересечение. Но следует отметить, что в этом случае никакой деформацией в трехмерном пространстве самопересечение устранить не удастся.

Второй особенностью получившейся поверхности является то, что через канал в улитке мы можем снаружи сферы попасть внутрь ее. При всем при этом поверхность является замкнутой, то есть краев, отверстий, разрывов у этой поверхности нет. Тем не менее, она не отделяет одну часть пространства от другой. Это общее свойство всех односторонних замкнутых поверхностей — они не отделяют часть пространства и не могут быть поверхностями тел. Наверное, поэтому нам, жителям трехмерного мира, так трудно свыкнуться с этими математическими объектами — поверхностями, которые могут существовать только "сами по себе", которые можно расположить без самопересечений только в четырехмерном пространстве, которые ничего ни от чего не отделяют и в то же время замкнуты.

У полученной нами поверхности — гибрида сферы и ленты Мебиуса — есть имя. Она называется проективной плоскостью. В математике есть целый раздел, называемый "проективная геометрия", который изучает свойства фигур на проективной плоскости и в проективном пространстве. Мы не будем здесь заниматься проблемами этой науки, отметим только, что изучаемая в проективной геометрии проективная плоскость топологически эквивалентна рассмотренной нами поверхности.

Можно предложить и другое представление проективной плоскости. Например, если мы закроем поверхность Мебиуса в виде "корзинки" крышкой, выполненной в виде пленки, натянутой на восьмерку (которая является, конечно же, деформированным кругом), то опять получим проективную плоскость. Она похожа на сферу, только в одном месте она как бы выворачивается наизнанку в двух направлениях, при этом пересекая саму себя. Присмотревшись повнимательней, вы можете узнать в этом месте ту самую крестообразную складку, которая и есть поверхность Мебиуса.

А теперь попробуем склеить краями две поверхности Мебиуса. Если мы проделаем это с улитками, то получим весьма сложную с виду поверхность, со свойствами которой трудно разобраться. Поэтому склеим две одинаковых ленты Мебиуса. А что там клеить? — скажете вы, — возьмем ленту Мебиуса, расслоим ее по всей длине, оставив склеенным край, и надуем ее, чтобы ее объемность была видна более явно и получим… неужели тор? Точно, тор!

Но в приведенном рассуждении кроется ошибка. Ошибка в том, что расслоенная лента Мебиуса не есть две совмещенные краем ленты. Расслоенная лента Мебиуса — это одна лента, а не две, причем она не имеет ничего общего с поверхностью Мебиуса, например у нее две стороны, а не одна. Чтобы разобраться, в чем же тут закавыка, попробуйте склеить две одинаковые ленты Мебиуса из бумаги, а затем вложить одну в другую, чтобы край совместился. Казалось бы, простая задача, а не получается… Чтобы добиться совмещения, нам необходимо где-то одну ленту пропустить сквозь другую. Чтобы сымитировать такое проникновение, могу посоветовать вам надрезать обе ленты до середины ширины и вставить надрезы один в другой. После этого край совмещается без труда. Склеим и чуть- чуть "раздуем" поверхность, чтобы отодвинуть плоские участки друг от друга. В общем, тоже похоже на тор, только в одном месте он проникает сам через себя, "меняясь" сторонами.

Такая поверхность называется бутылкой Клейна. Клейн — это математик, который первым исследовал эту поверхность, а вот почему "бутылка"? Ведь на бутылку это мало похоже. Вероятно, после какой-то деформации сходство с бутылкой становится ближе? Здесь вы правы, но, прежде, чем показать вам бутылку Клейна во всей красе, попробуем получить ту же поверхность, склеивая другие "разновидности" поверхности Мебиуса.

На этот раз мы склеим две "корзинки". Линия самопересечения оказалась в области ручек корзинок. Поверхность снова похожа на тор, но самопересекающейся оказалась "дырка от бублика". Переместим самопересечение вдоль дырки к одному из ее входов и даже дальше. Естественно, за самопересечением потянется и часть самой поверхности, образуя "горлышко" и все больше придавая ей бутылкообразную форму. И, наконец, подвинем внутреннюю самопересекающуюся часть "горлышка" в сторону, прямо сквозь само "горлышко". Мы увидим, что самопересечение внутри "горлышка" исчезло, зато появилось новое в месте, где согнутая трубка "горлышка" проходит сквозь "стекло" бутылки, чтобы уже внутри бутылки оказаться "впаянным" в ее дно. Вот именно этот вид и дал бутылке Клейна ее название.

В горизонтальном сечении превращение тора с самопересекающейся "дыркой" в бутылку выглядит так:

Бутылка Клейна, как и проективная плоскость, является замкнутой односторонней поверхностью. Она отличается от проективной плоскости своей большей сложностью — если для получения проективной плоскости нам понадобилась одна лента Мебиуса, вклеенная в сферу, то для получения бутылки Клейна — уже две ленты Мебиуса (легко доказать, что склеивание двух лент Мебиуса краем дает тот же эффект, что и вклеивание двух лент Мебиуса в сферу — для этого достаточно поместить между двумя склеиваемыми краями тонкую полоску, которая эквивалентна сфере с двумя отверстиями). Соответственно, бутылка Клейна имеет 2 канала, соединяющие ее "внутренность" с наружным миром. В топологии доказывается теорема, что все возможные односторонние поверхности можно получить путем вклеивания в сферу какого-то количества лент Мебиуса.

Позвольте, скажет читатель, а как же "шайба Гровера"? Что получится, если ее вклеить в сферу? Извольте, отвечу я. Тем более, что операция это простая. После вклеивания вы увидите выходящий из сферы канал, который пересекает ее поверхность и выходит наружу через стенку. Отодвинем выходное отверстие канала подальше от входного. Мы видим… опять бутылку Клейна! Таким образом, шайба Гровера оказалась эквивалентна всего лишь удвоенной ленте Мебиуса.

Но ведь есть еще и ручка. Что будет, если мы начнем вклеивать в сферу не только поверхности Мебиуса, но еще и ручки? Не получится ли какой-нибудь гибрид односторонних и двусторонних поверхностей?

Не получится. Потому что такого гибрида не бывает. Поверхность может иметь либо одну, либо две стороны. Третьего не дано. Если какая либо часть поверхности, ограниченная окружностью, является лентой Мебиуса, то и вся поверхность будет односторонней. Другими словами, если мы вклеили в сферу хотя бы одну ленту Мебиуса, то тем самым мы обеспечили ее односторонность. Если поверхность уже односторонняя, то вклеивание в нее ручки эквивалентно вклеиванию двух лент Мебиуса. То есть при вклеивании в одностороннюю поверхность ручки и шайбы Гровера равноценны. Они различны только при вклеивании в двустороннюю поверхность. Это следует хотя бы из того, что единственным отличием шайбы Гровера от ручки является то, что первая соединяет своими каналами две стороны круга, а каналы второй целиком лежат каждый со своей стороны круга. Но если стороны уже соединены другим каналом, то это отличие исчезает.