Теория симпатий>

Письмо 1 — введение в теорию Письмо 1 — симпатии интересов Письмо 1 — классификация Письмо 2 — согласия Письмо 2 — размерность

Архив статьи

Теория симпатий — письмо 1 — классификация

Прежде всего (может, с этого стоило начинать, но, на мой взгляд, это созрело только сейчас) поговорим о классификации симпатий. А затем рассмотрим подробнее некоторые типы симпатий.

Симпатии можно классифицировать по трем признакам: по виду множества, на котором строится симпатия, по количеству и типу связей между элементами и по структуре. По базовому множеству симпатии делятся на конечные и бесконечные. Конечные симпатии могут иметь такую характеристику, как мощность, равную мощности множества. Среди бесконечных симпатий можно выделить счетные симпатии (тоже по аналогии со счетными множествами). В отличие от множеств симпатию нельзя произвольно разделить на подсимпатии, т.к. при этом придется разрывать связи между элементами. Такое разделение возможно, только если в симпатии имеется несколько связных областей. В этом случае подсимпатией будет симпатия, включающая в себя часть связных областей исходной симпатии. Подсимпатией будет также область доступности любого ее элемента.

Ниже мы рассмотрим несколько интересных симпатий, построенных на бесконечных множествах — это симпатии на числовой оси, на множестве функций и на множестве симпатий.

По связям между элементами можно выделить однородные симпатии — это симпатии, все элементы которых имеют одинаковое количество интересов. В двусторонне однородных симпатиях элементы имеют не только одинаковое количество интересов, но и одинаковое количество поклонников. Однозначные однородные симпатии — симпатии, элементы которых имеют ровно 1 интерес (или для неоднородных симпатий — не более одного интереса). И, наконец, бесконечнозначные симпатии — однородные или неоднородные — симпатии, у которых все или часть элементов имеет бесконечное число интересов. Кроме того мы рассмотрим симпатии, у которых все элементы связаны взаимностями, т.е. если a_j входит в M_i, то a_i входит в M_j. Такие симпатии будем называть согласиями.

Симпатии могут различаться по структуре. Так мы говорили раньше о симпатиях, имеющих несколько связных областей, о симпатиях с кольцевыми маршрутами, о симпатиях, которые могут быть симпатиями интересов других симпатий. Все это симпатии, отличающиеся по более сложным критериям, чем первые два (т.е. вид базового множества и число связей). Будем говорить, что в этом случае мы выделяем симпатии по структуре.

Рассмотрим симпатии, у которых в качестве базового множества используется множество действительных чисел (числовая ось). Однозначные симпатии на числовой оси называются функциями. Такое простое определение функции равносильно общепринятому, просто все остальное уже содержится в понятии однозначной симпатии. В самом деле, функция ставит в соответствие какому-либо числу другое число. То же самое делает симпатия. При определении функции используются понятия «область определения» и «область значений», что создает впечатление двух разных множеств. Но обе области — это подмножества множества действительных чисел. В терминологии симпатий в область определений входят элементы (числа), имеющие 1 интерес. Остальные элементы не имеют интересов, т.е. являются тупиками. Область значений — это элементы, имеющие поклонников. Если элементы не входят ни в область определения, ни в область значений, то это изолированные элементы.

Теория функций рассматривает только следующее поколение для элементов из области определения. В рамках теории симпатий можно исследовать другие объекты, например, маршруты. Маршруты в симпатии функции есть ряды чисел. Т.е. мы через симпатии устанавливаем связь между рядами и функциями. Не каждый ряд можно представить, как маршрут на функции, но только такой, в котором следующий член ряда полностью определяется значением предыдущего члена. Тогда, записав это рекуррентное соотношение в виде функции, мы получим данный ряд как маршрут на этой (рядообразующей) функции. Так функции соответствует ряд (1, , , … , , …); функции  — ряд ( 1, , , , … , ,…); функции  — ряд ( 1, , , , , … , , …) и т.д. Все приведенные примеры рядов (маршруты на функциях) мы начинали с точки 1. Для ряда Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) рядообразующей функции задать нельзя, т.к. следующее значение ряда определяется не одним, а двумя предыдущими значениями.

Многозначная симпатия на на множестве действительных чисел — это многозначная функция (например, ). Бесконечнозначная симпатия на числовой оси — это, например, решение неравенства с двумя переменными. Симпатия на множестве комплексных чисел — это функция комплексного переменного. А вот функцию нескольких переменных вообще нельзя представить в виде симпатии. Дело в том, что функция нескольких переменных это отображение множества векторов (т.е. пар, троек, четверок и т.д. действительных чисел) на множество действительных чисел, а симпатия всегда отображает (может быть многозначно) одно и то же множество само на себя. Симпатия (однозначная) на множестве векторов — это так называемое конформное преобразование, т.е. отображение плоскости (для 2-мерных векторов), пространства (для 3-мерных векторов) или многомерного пространства само на себя или свою часть. А вот формула преобразования для каждой координаты при конформном преобразовании — это и есть функция нескольких переменных. Т.е. функция нескольких переменных — это только одно из нескольких соответствий, описывающих симпатию на векторах.

Другой важной разновидностью симпатий являются симпатии, заданные на множестве функций. Это так называемые преобразования. Они преобразуют одни функции в другие. Самые простые преобразования — это функции от функций. Заметим только, что функцию от функции можно рассматривать, как функцию, т.е. симпатию на числовой оси, но здесь это симпатия на множестве функций, т.е. закон, по которому из одной функции можно получить другую, причем этот закон имеет функциональный вид. Т.е. новая функция (интерес исходной функции) эквивалентна последовательному выполнению исходной функции над аргументом, а затем функциональному преобразованию над числом, являющимся результатом выполнения исходной функции. На множестве функций возможны преобразования, не имеющие функционального вида. Они называются операторами. Одним из операторов является оператор дифференцирования. Он переводит исходную функцию в производную. Последовательное многократное дифференцирование задает маршрут на симпатии дифференцирования. В силу однозначности дифференцирования такой маршрут длины n определяется однозначно. Симпатия дифференцирования имеет элементы с самолюбованием — это функции вида . При A = 0 — это тривиальный 0. К многозначным (бесконечнозначным) симпатиям-операторам относится симпатия интегрирования. Она переводит функцию в первообразную, которая определена, как известно, с точностью до константы. Эти две симпатии (дифференцирование и интегрирование) являются взаимно обратными. К симпатиям-операторам можно также отнести такие преобразования, как преобразование Лапласа, преобразования Фурье, интеграл Фурье, Z-преобразование и другие интегральные преобразования.

Если в качестве базового множества взять множество симпатий (как объектов, имеющих определенную структуру), то, задав для каждой симпатии множество симпатий-интересов, мы получим симпатию, построенную на множестве симпатий. Одну из таких симпатий в неявном виде мы уже рассматривали, когда говорили о симпатиях интересов. В самом деле, определив область интересов данной симпатии, как (единственную) симпатию интересов, мы превратим множество симпатий в симпатию. Операция перехода к симпатии интересов n–го порядка эквивалентна движению по маршруту длины n. Структура этой симпатии похожа на структуру симпатии дифференцирования: однозначность при движении в одном направлении и бесконечное число значений в обратном направлении, выход на пустую симпатию или на тривиальный 0 после конечного числа шагов для некоторых элементов (бескольцевых симпатий конечного диаметра — и многочленов), отсутствие поклонников для некоторых элементов (симпатий, в которых области интересов различных элементов пересекаются, но не совпадают — и функций с особенностями).

Если определить область интересов данной симпатии, как все симпатии, полученные из данной путем ее сокращения (т.е. замены подмножества на элемент), то мы получим другой пример симпатии на симпатиях. Эта симпатия многозначна, но в ней нет кольцевых маршрутов. Она имеет один тупик — симпатию из одного элемента («мир, как целое»).Вся симпатия находится в прошлом этого элемента, т.е. любая симпатия имеет эту симпатию в своей области доступности и при последовательном сокращении приближается к ней. А значит, вся симпатия представляет собой одну связную область (не считая изолированной пустой симпатии). Другой вариант, когда в качестве интересов данной симпатии выбираются ее симпатии кратных поколений. При этом все симпатии, доступные для данной, имеют одинаковое число элементов, но по-разному связанных. Т.е. эта симпатия многосвязна (по крайней мере, каждому количеству элементов соответствует своя связная область).

А теперь несколько вопросов, упущенных в свое время при последовательном изложении, но заслуживающих того, чтобы о них упомянуть.

Один из таких вопросов — это рассмотрение однозначных симпатий. Ясно, что однозначная симпатия распадается на ряд связных областей, каждая из которых, в свою очередь, является однозначной симпатией или изолированным элементом. Поэтому удобнее рассмотреть такую однозначную симпатию, которая представляет собой одну связную область. При этом возможны такие варианты симпатии: конечная разомкнутая цепочка элементов; кольцевая цепочка элементов; бесконечная цепочка, имеющая исток; бесконечная цепочка, закачивающаяся тупиком; бесконечная цепочка, не имеющая концевых элементов. Кольцевая цепочка и бесконечная в обе стороны цепочка являются двусторонне однородными симпатиями, т.е. в них все элементы равнозначны и имеют по одному интересу и по одному поклоннику. Остальные варианты кроме таких элементов имеют либо исток, либо тупик, либо и исток, и тупик. Ясно, что все эти симпатии являются счетными. На всех не кольцевых вариантах для любых двух элементов можно определить операцию сравнения (a_i < a_j, если a_j ∈ D_i) и имеется единственный маршрут от меньшего элемента к большему; длина этого маршрута есть расстояние между элементами. Бесконечная цепочка с истоком эквивалентна симпатии на множестве натуральных чисел, если интересом данного числа считать следующее за ним число. Бесконечная цепочка с тупиком — это аналогичная симпатия на множестве отрицательных чисел. Конечная цепочка — симпатия на конечном числе целых чисел или на любом конечном множестве, в котором для любых двух элементов можно указать порядок следования типа больше, меньше, лучше, левее, красивее, богаче и т.п.

Множеству целых чисел или любому бесконечному множеству, на котором для любых двух элементов определено одно из вышеперечисленных сравнительных понятий, эквивалентна бесконечная однозначная двусторонне однородная односвязная симпатия или, как мы ее называли, бесконечная цепочка без концевых элементов. Впрочем, на множествах со сравнением определяются и указанные выше бесконечные в одну сторону цепочки, но в отличие от бесконечной в обе стороны цепочки, они имеют один элемент «самый-самый», т.е. который при сравнении с любым другим элементом допускает только одно сравнение: всегда больше или всегда меньше и т.д. — это, так сказать, элемент с превосходной степенью: величайший, нижайший, великолепнейший, мудрейший из мудрейших (впрочем, я увлекся — последнее сравнение уже нонсенс, почему-то приятный восточным правителям). Т.е. все перечисленные варианты допускают интерпретацию на множестве целых чисел.

Несколько особняком стоит кольцевая однозначная симпатия. На ней нельзя определить соотношение сравнения между двумя элементами, т.к. все элементы находятся в области доступности любого из них, т.е. (если все-таки попытаться это сделать) любой меньше всех остальных и в то же время больше них. Но в то же время порядок следования определен однозначно. Числовой эквивалент этой симпатии — множество остатков при делении на число, которое в симпатии является длиной кольца. На этой симпатии от любого элемента a_i до любого другого a_j всегда имеется единственный маршрут без кольцевых фрагментов и множество маршрутов, отличающихся на nd, где d — диаметр, с кольцевыми фрагментами. Длина маршрута без кольцевых фрагментов есть расстояние d_ij. В общем случае d_ij ≠ d_ji. Длины всех маршрутов между двумя элементами a_i и a_j есть множество натуральных чисел, дающих при делении на d остаток d_ij.

Другой важный вопрос — матричное представление счетных симпатий. Пронумеруем элементы симпатии. Для каждого элемента по порядку запишем двоичную строку, в которой на n-м месте будем писать единицу, если n–й элемент входит в область интересов данного элемента и нуль в противоположном случае. Ясно, что полученная матрица полностью отражает структуру данной симпатии. Количество строк в ней (и количество столбцов) равно числу элементов в симпатии, а количество единиц — общему числу связей. Вдоль главной диагонали стоят числа (нули или единицы), ответственные за самолюбования. Матрица, полученная из данной путем отражения относительно главной диагонали, будет изображать обратную симпатию.

Т.к. порядок нумерации элементов симпатии не влияет на ее структуру, то любая матрица, полученная на данной симпатии с измененным порядком нумерации элементов, будет отражать ту же структуру. Как можно из одной матрицы получить другую, изображающую ту же самую симпатию? Очень просто. Простейшее изменение порядка нумерации элементов — это обмен двух любых элементов своими номерами. Отсюда получаем правило: любая матрица, полученная из данной путем перестановки двух строк и двух столбцов теми же номерами, изображает ту же симпатию. Можно доказать, что для любой симпатии, не имеющей кольцевых маршрутов, можно путем последовательной перестановки строк и соответствующих им столбцов привести ее матрицу к такому виду, когда все единицы сосредоточены выше главной диагонали. Этот вид матрицы соответствует такой нумерации, когда элемент с большим номером не имеет в своем будущем элементов с меньшими номерами. Верно и обратное утверждение: симпатию, имеющую хотя бы один кольцевой маршрут, нельзя пронумеровать таким образом, чтобы соответствующая ей матрица содержала все единицы выше главной диагонали.

С помощью матриц удобно представлять сильно разветвленные симпатии, т.е. симпатии, в которых множества M_i имеют большое число элементов. В этом случае графическое представление симпатии теряет наглядность, т.к. большое количество связей загромождает рисунок. При небольшом количестве связей рисунок более удобен.

Если симпатия имеет несколько связных областей, то соответствующую ей матрицу можно представить, как ряд квадратных матриц меньшего размера, расположенных вдоль главной диагонали, остальная же часть матрицы заполнена нулями:

1-я связная область	0	0	0
0	2-я связная область	0	0
0	0	3-я связная область	0
0	0	0	4-я связная область

Сокращение симпатии в матричном виде производится так: все элементы, принадлежащие сокращаемому множеству, путем последовательных перестановок собираются подряд, затем из матрицы вырезается расположенный на диагонали квадрат, на его место ставится 1 или 0 в зависимости от того, были ли в квадрате единицы, а боковые прямоугольники, окружающие вырезанный квадрат, «прессуются» до строчки или столбца с сохранением всех единиц по принципу «или».

Маршрут на матрице прокладывается так: от главной диагонали (элемент) — по горизонтали до единицы (связь) — затем по вертикали до диагонали (элемент) — по горизонтали до единицы (связь) — по вертикали до диагонали (элемент) и т.д. Количество пройденных единиц — длина маршрута.

И, наконец, такой вид симпатий, как согласия. Напомним, что согласие — это симпатия, в которой для всех элементов выполняется условие: если какой-либо элемент входит в область интересов данного элемента, то и данный элемент входит в область интересов этого элемента. Другими словами — каждый интерес является поклонником. В согласии, если два элемента связаны между собой, то они связаны двойными, вернее, двусторонними связями. Поэтому область интересов любого элемента совпадает с кругом его поклонников и не имеет смысла говорить о них в отдельности — мы будем называть это множество окружением элемента. Точно так же область доступности совпадает с областью популярности и занимает всю связную область. В связной области не может быть независимых от данного элемента элементов. Разделять прошлое и будущее, таким образом, бессмысленно; согласие ничем не напоминает время — это скорее пространственноподобная структура без выделенных направлений.

Двусторонняя связь (взаимность) с точки зрения симпатии является частным случаем кольцевого маршрута, но, говоря о согласии, удобнее считать ее единичной связью. В согласии мы будем разделять аналогичные кольцевым круговые маршруты — маршруты, не проходящие дважды подряд по одной (двойной) связи и связывающие элемент сам с собой — и попятное движение (тюею движение по только что пройденной связи в обратном направлении).

Поскольку связь самолюбования всегда является взаимностью, то она также может присутствовать в согласиях.